베이즈 정리 문제란?

베이즈 정리 문제 (조건부 확률 문제)

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• 베이즈 정리

베이즈 정리는 두 확률 변수의 사전 확률과 사후 확률 사이의 관계를 나타내는 정리로 사전 확률로부터 사후 확률을 구할 수 있는 방법을 제시한다.

P(A) - 사전 확률: 결과가 나타나기 이전에 정해져 있는 사건 A의 확률 (원인) P(B|A) - 우도 확률: 사건 A가 발생했다는 전제 하에 사건 B가 발생할 확률 P(A|B) - 사후 확률: 사건 B가 발생했다는 전제 하에 사건 A가 발생했을 확률

베이즈 정리는 조건부 확률을 구하기 위한 정리로 이미 발생한 사건의 확률을 구하기 위한 정리로 이미 발생한 사건의 확률을 이용해 앞으로 발생하게 될 사건의 가능성을 구할 수 있다.

베이즈 정리 역확률 문제

A씨가 코로나 진단 키드를 이용한 결과 양성으로 판정 받았을 때, A씨가 실제로 코로나에 걸렸을 확률은 몇 %인가? 단, 코로나 진단 키드의 정확도는 90%이고, 코로나에 걸릴 확률은 5%이다.

코로나에 걸릴 확률 P(코로나) = 0.05, 코로나가 아닐 확률 P(no코로나) = 0.95이고 진단 키트 결과 양성일 때 코로나 확률 P(양성

코로나) = 0.9, 양성이라고 진단 받았지만 실제 코로나가 아닐 확률 P(양성

no코로나) = 0.1이렇게 표현이 가능할 것이다.

그렇다면 이를 이용하여 진단 키트 결과가 양성일 때 실제 코로나에 걸렸을 확률을 계산해 보자 P(코로나|양성) = P(양성|코로나) x P(코로나) / P(양성) P(양성) = 코로나일 때 양성일 확률 + 코로나가 아닐 때 양성일 확률           = P(양성|코로나) x P(코로나) + P(양성|no코로나) x P(no코로나)           = 0.9 x 0.05 + 0.1 x 0.95           = 0.14

∴ P(코로나

양성) = 0.9 x 0.05 / 0.14 ≒ 0.32

이와 같이 계산 되므로 A씨가 코로나 진단 키트 결과 양성일때, 실제 코로나일 확률은 32%인 것이다. 코로나에 걸릴 확률 자체가 5%로 상당히 낮기 때문에,  코로나 진단 키트 결과가 양성이어도 실제 코로나일 확률은 32%로 상당히 낮은 것을 볼 수 있다.

코드 정리

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    // 확률 값 입력
    double P_Covid = 0.05;              // 코로나에 걸릴 확률
    double P_noCovid = 0.95;            // 코로나가 아닐 확률
    double P_Pos_given_Covid = 0.9;     // 양성일 때 코로나일 확률
    double P_Pos_given_noCovid = 0.1;   // 양성일 때 코로나가 아닐 확률

    // 전체 양성일 확률 P(양성)
    double P_Pos = (P_Pos_given_Covid * P_Covid) + (P_Pos_given_noCovid * P_noCovid);

    // 베이즈 정리를 이용한 P(코로나|양성)
    double P_Covid_given_Pos = (P_Pos_given_Covid * P_Covid) / P_Pos;

    // 결과 출력
    cout << "코로나 진단 키트 결과 양성일 때 실제로 코로나에 걸렸을 확률 (P(Covid|Pos)): " << P_Covid_given_Pos * 100 << "%" << endl;

    return 0;
}

참고자료

• https://bigsong.tistory.com/40
• https://namu.wiki/w/%EB%B2%A0%EC%9D%B4%EC%A6%88%20%EC%A0%95%EB%A6%AC#s-2.1